Trong bài viết này chúng tôi sẽ giúp các bạn tìm hiểu thông tin và kiến thức về giá trị nguyên là gì hay nhất được tổng hợp bởi faravirusi.com
Chúng ta quan tâm đến khái niệm sau.
Định nghĩa. Một đa thức $f(x)$ với biến $x$ được gọi là Đa thức giá trị nguyên khi và chỉ khi nó nhận giá trị nguyên khi $x$ là số nguyên.
Ví dụ. Các đa thức có hệ số nguyên là những đa thức giá trị nguyên. Tuy nhiên có những đa thức có hệ số không là số nguyên nhưng vẫn là đa thức giá trị nguyên, chẳng hạn đa thức sau đây [dbinom{x}{r} = dfrac{{x(x – 1) ldots (x – r + 1)}}{{r!}}.]Ta kí hiệu $f(x+1)-f(x)=Delta f(x)$ và có khẳng định sau.
Định lý 12.1. [Delta dbinom{x}{r}=dbinom{x}{r-1}]
Chứng minh. Ta có biến đổi sau đây[begin{align*} Delta dbinom{x}{r}=&dfrac{{(x+1)x(x-1) ldots (x-r+3) (x – r + 2)}}{{r!}}-dfrac{{x(x – 1) ldots (x – r + 1)}}{{r!}}\ =&dfrac{{x(x-1) ldots (x – r + 2)}}{{r!}}((x + 1) – (x – r + 1))=dbinom{x}{r-1}. end{align*}]
$square$
Định lý 12.2. Mọi đa thức giá trị nguyên với bậc $k$ có thể viết như sau [a_kdbinom{x}{k}+a_{k-1}dbinom{x}{k-1}+ldots+a_1dbinom{x}{1}+a_0,] trong đó $a_k,,ldots a_{k-1},,ldots,a_0$ là các số nguyên. Đồng thời, với những số nguyên $a_k,,ldots a_{k-1},,ldots,a_0$ bất kỳ, thì đa thức trên là một đa thức giá trị nguyên.
Chứng minh.Đa thức $f(x)$ bất kì với bậc $k$ có thể viết như sau [f(x)=alpha_kdbinom{x}{k}+alpha_{k-1}dbinom{x}{k-1}+ldots+alpha_1dbinom{x}{1}+alpha_0.] Giờ ta lại có [Delta f(x) = alpha_kdbinom{x}{k-1}+alpha_{k-2}dbinom{x}{k-2}+ldots+alpha_1.] Viết $Delta^{2}f(x) $ thay cho $Deltaleft( Delta f(x)right)$ và $Delta^rf(x)=Deltaleft( Delta^{r-1} f(x)right)$, ta thấy [fleft( 0 right) = {alpha _0},,quadquad{(Delta f(x))_{x = 0}} = {alpha _1},,quadldots,quad{({Delta ^r}f(x))_{x = 0}} = {alpha _r},,ldots. ] Nếu $f(x)$ là một đa thức giá trị nguyên, thì $Delta f(x),,quadDelta^2f(x),,ldots$ cũng nhận giá trị nguyên. Từ đó $f(0),,(Delta f(x))_{x=0},,ldots,,(Delta^r f(x)_{x=0}),,ldots$ đều là những số nguyên; vậy $alpha_k,,ldots,alpha_0$, là những số nguyên. Phần còn lại của định lý là hiển nhiên.
$square$
Phương pháp này còn có thể dùng để chứng minh một định lý như sau:
Định lý 12.3.Với $f(x)$ là một đa thức giá trị nguyên. Với mọi số nguyên $x,,a$ điều kiện cần và đủ để $f(x)$ là bội của $m$ đó là [mmidgcd left( a_k,,ldots ,a_0right),] trong đó $a_k,,ldots ,a_0$ là những số nguyên lấy ở trong Định lý 12.2
Định lý 12.4. (Fermat). Với $p$ là một số nguyên tố. Lúc đó, với mọi số nguyên $x$, $x^p-x$ là một bội số của $p$
Chứng minh. Nếu $p=2$, lúc đó từ $x^2-x=x(x-1)=2dbinom{x}{2}$ ta có điều cần chứng minh. Xét trường hợp $p>2$, và đặt $x^p-x=f(x)$. Lúc đó $f(0)=0$ và[begin{align*} Delta f(x)=& (x+1)^p-x^p-(x+1)+x\ =&dbinom{p}{1}x^{p-1}+dbinom{p}{2}x^{p-2}+ldots+dbinom{p}{p-1}x. end{align*}] Ta chú ý rằng, theo bài tập 11.3 các hệ số $dbinom{p}{k}$ sẽ là các số nguyên. Với $x=0$, ta thấy rằng $f(1)$ là bội của $p$; với $x=2$ ta có $f(1)$ là bội của $p$ và tương tự.. Vì thế $f(x)$ luôn là bội của $p$ với $xge 0$. Còn với $x<0$, ta cũng có $f(x)$ cũng là bội của $p$ do[x^p-x=left((-x)^p-(-x)right).]Và như vậy, định lý được chứng minh.
$square$
Bài tập 1. Mở rộng Định lý 12.2 và Định lý 12.3 đối với trường hợp nhiều biến.
Bài tập 2. Chứng minh rằng $n(n+1)(2n+1)$ là một bội của $6$
Bài tập 3. Chứng minh rằng, nếu $m$ và $n$ chạy khắp tập của tất cả các số nguyên dương, thì [m + dfrac{1}{2}left( m + n – 1right) left( m + n – 2right)] cũng chạy khắp toàn bộ tập của những số nguyên dương, và giá trị không lặp lại.
Bài tập 4. Chứng minh rằng nếu một đa thức bậc $k$ lấy giá trị nguyên cho $k+1$ số nguyên liên tiếp, lúc đó đa thức đó phải là một đa thức giá trị nguyên.
Bài tập 5. Nếu $f(-x)=-f(x)$ lúc đó ta gọi $f(x)$ là một đa thức lẻ. Chứng minh rằng một đa thức giá trị nguyên lẻ có thể viết dưới dạng [{a_0} + {a_1}dfrac{x}{1} dbinom{x}{1} + {a_2}dfrac{x}{2} dbinom{x+1}{3} + ldots + {a_m}dfrac{x}{m} dbinom{x+m-1}{2m-1},] trong đó $a_1,,ldots,,a_m$ là những số nguyên.
Top 5 giá trị nguyên là gì tổng hợp bởi Faravirusi.com
Cho em hỏi giá trị nguyên là gì – Olm
- Tác giả: olm.vn
- Ngày đăng: 02/21/2023
- Đánh giá: 4.9 (978 vote)
- Tóm tắt: Ta có thể giải như sau: 1/ Tách phần nguyên: Khi k là một hằng số; B là biểu thức nguyên của biến. Khi đó nhận giá trị nguyên B …
Số nguyên là gì? 0 có phải là số nguyên dương không?
- Tác giả: luathoangphi.vn
- Ngày đăng: 09/10/2022
- Đánh giá: 4.54 (383 vote)
- Tóm tắt: Số nguyên là một trong những khái niệm cơ bản của toán học, tập hợp số nguyên bao gồm các số nguyên dương, các số nguyên âm ( là các số đối của …
- Khớp với kết quả tìm kiếm: Số thực là tập hợp số bao gồm các số dương (1, 2, 3, -4…), số 0, số âm (-1, -2, -3, -4…), số hữu tỉ Q (3/2, -8/3), số vô tỉ I (π, số √5). Số thực có thể được coi là các điểm nằm trên trục dài vô hạn của dãy số. Số thực ( kí hiệu là R) bao gồm tập …
Số nguyên là gì? Khái niệm & các tập hợp số cơ bản khác
- Tác giả: sentayho.com.vn
- Ngày đăng: 10/27/2022
- Đánh giá: 4.22 (524 vote)
- Tóm tắt: Khái niệm số thực lần đầu tiên được sử dụng vào thế kỷ 17 bởi nhà toán học người Pháp René Descartes để biểu thị các giá trị nghiệm của đa thức và phân biệt với …
- Khớp với kết quả tìm kiếm: Nếu phát biểu theo đúng khái niệm toán học: Các số nguyên là miền nguyên bao gồm các số được sắp xếp theo một thứ tự duy nhất. Các phần tử dương của nó được sắp xếp theo một thứ tự logic với quy luật được bảo toàn bởi phép cộng. Phát biểu đơn giản …
Giá Trị Nguyên Là Gì ? Phân Biệt Số Nguyên Với Số Thực Số Thực Là Gì
- Tác giả: thanhchien3d.vn
- Ngày đăng: 03/18/2023
- Đánh giá: 4.08 (522 vote)
- Tóm tắt: Khái niệm số nguyên dương chính là đáp án của câu hỏi số tự nhiên là gì. Theo lí thuyết, số nguyên dương là những số nguyên lớn hơn 0. Còn số tự …
- Khớp với kết quả tìm kiếm: Tính chất của số thực được xây dựng dựa trên tính chất của các số tạo nên nó. Bao gồm cả số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ. Có một số bạn thắc mắc rằng vậy Q là tập hợp số gì trong R. Thực chất Q chính là tập hợp các số hữu tỉ.Sự khác biệt lớn nhất …
Giá Trị Nguyên Là Gì ? Phân Biệt Số Nguyên Với Số Thực Số Thực Là Gì – Thánh chiến 3D
- Tác giả: vanhoahoc.vn
- Ngày đăng: 07/21/2022
- Đánh giá: 3.8 (419 vote)
- Tóm tắt: Khái niệm số nguyên là một khái niệm rất rộng. Nhiều người thắc mắc 0 có phải là số nguyên không? Số nguyên là tập hợp các số tự nhiên dương …
- Khớp với kết quả tìm kiếm: Tính chất của số thực dựa trên tính chất của các số tạo nên nó. Gồm số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ. Một số bạn đang thắc mắc q là tập hợp số nào trong r. Thực chất q là tập hợp các số hữu tỉ Điểm khác biệt lớn nhất giữa số nguyên và số thực chính là …
